תרגול נושאי התרגול כעץ חיפוש בינארי : העץ הימני. Inorder(x) 1) if x NULL 2) then Inorder(left(x)) 3) print key[x] 4) Inorder(right(x))

Size: px

Start display at page:

Download "תרגול נושאי התרגול כעץ חיפוש בינארי : העץ הימני. Inorder(x) 1) if x NULL 2) then Inorder(left(x)) 3) print key[x] 4) Inorder(right(x))"

Irene Davis
6 years ago
Views:

1 : VII מרצה: פרופ' אמיר גבע מתרגל: חורש בן שטרית תרגול עצים בינארים נושאי התרגול א) עצי חיפוש בינאריים. ב) עצים אדומים שחורים. עץ חיפוש בינארי עץ חיפוש בינארי זהו עץ בינארי בו בכל צמת הבן הימני גדול-שווה לאב,והבן השמאלי קטן-שווה לאב. ולכן כל האיברים בתת-עץ השמאלי תמיד קטנים-שווים לערך האב וכן כל האיברים בתת-עץ הימני תמיד גדולים-שווים לערך האב. C < 6,12,4,8,10,15, 3 > דוגמא: נציג קבוצת האיברים : כעץ חיפוש בינארי : ניתן לראות כי קיימות מספר אופציות להצגת עץ החיפוש הבינארי התלויה בסדר הכנסת האיברים. סריקה תוכית : סריקה זו סורקת את העץ הבינארי ומאפשרת להדפיש את האיברים בסדר ממוין מהקטן לגדול, סריקה זו עוברת תחילת על תת העץ השמאלי, לאחר מכן מדפיסה את השורש ואז עוברת לתת העץ הימני. Inorder(x) 1) if x NULL 2) then Inorder(left(x)) 3) print key[x] 4) Inorder(right(x)) ביצוע הסריקה התוכית על הקבוצה C תדפיס את האיברים בצורה ממויינת: > 15 <,3,4,6,8,10,12 באופן סימטרי קיימת הסריקה הסופית, אשר מדפיסה את האיברים מהגדול לקטן. סריקה תחילית : סריקה זו מדפיסה תחילה את השורש ולאחר מכן תת עץ שמאלי, תת עץ ימני : Preorder(x) 1) if x NULL 2) then print key[x] 3) Preorder(left(x)) 4) Preorder(right(x))

2 סריקה תחילית על העץ הימני (בשרטוט ( : > 8,4,3,6,12,10,15 <. סריקה תחילית על העץ השמאלי (בשרטוט ( : > 15 < 4,3,10,8,6,12, מינימום ומקסימום : חיפוש המפתח המקסימאלי בעץ יבוצע ע"י קידום המצביע במורד העץ ימינה: Maximum(x) 1) if x NULL 2) then while (right[x] NULL) 3) do x <- right (x) 4) return x באופן סימטרי נמצא את המינימום ע"י קידום המצביע במורד העץ שמאלה. חיפוש איבר : הפונקציה מקבלת את הערך המבוקש (k ( לצמת( x ) בעל מפתח k אם לא קיים תחזיר. NULL ומצביע לראש העץ ומחזירה את המצביע Search(x,k) 1) if (x =NULL or k == key(x)) 2) then return x 3) if (k < key(x)) 4) then return Search(left(x),k) 5) else return Search(right(x),k) נדגים את הפעולה עבור חיפוש האיברים 12 ו 7 בעץ השמאלי: עבור האיבר : 12 מתחילים בשורש (4), פונים ימינה (10), פונים ימינה (12) ומחזירים את המצביע ל.12 עבור האיבר : 7 מתחילים בשורש (4), פונים ימינה (10), פונים שמאלה (8), פונים שמאלה (6), פונים ימינה (NULL) ומחזירים. NULL עוקב : העוקב למפתח מסויים הינו האיבר בעל המפתח הקטן ביותר שהינו גדול מהמפתח הנתון. נוכל למצוא אותו בדומה לסריקה תוכית : אם לצמת יש בן ימני, אז העוקב הינו המינימום בתת עץ הימני. ואילו אם אין לצמת בן ימני אז העוקב הינו האב הקדמון הראשון שיש לו בן שמאלי. Successor(x) 1) if (right(x) NULL) 2) then return Minimum(right(x)) 3) y<- parent(x) 4) while ((y NULL) and (x = right(y))) 5) do x <- y 6) y <- parent(y) 7) return y באופן סימטרי נמצא את האיבר הקודם.

3 הכנסת איבר: בניית עץ החיפוש מושתתת על פונקצית ההכנסה בה בכל פעם מכניסים איבר אחד. תחילה מאתחלים צמת (z) עם ערך key ובנים כ, NULL לאחר מכן ממשיכים במורד העץ עד אשר מוצאים את מיקומו של הצמת החדש. Insert(Head,z) 1) y<- NULL 2) x<- Head 2) while (x NULL) 3) do y <- x 4) if key(z) < key(y) 5) then x<- left(x) 6) else x<- right (x) 7) parent(z)<-y 8) if (y =NULL) 9) then Head <- z 10) else if key(z) < key(y) 11) then left(y)<- z 12) else right(y)<- z דוגמא הכנס את הערך 11 לעץ הבינארי : מחיקת איבר : הפונקציה מקבלת מצביע לאיבר (אם ישנו רק הערך, נחפש תחילה עם פונקציית (Search ואז מסירה אותו מהעץ. ישנם שלושה מקרים : א) לצמת המוסר ( d )אין בנים במקרה זה פשוט נסיר אותו. ב) לצומת המוסר ( d )בן אחד- במקרה זה נקח את הבן, נקשרו לאב (parent(d)) של הצומת המוסר ונסיר את הצומת. ג) לצמת המוסר שני בנים, במקרה זה נסיר (בצורה רקורסיבית) את העוקב של הצומת (successor(d)) ונחליף את הנתונים של העוקב עם נתוני הצומת. דוגמא מחיקת איבר ללא בנים (6):

4 דוגמא מחיקת איבר עם בן אחד (8): דוגמא מחיקת איבר עם שני בנים (10): Delete(Head,z) 1) if ((left(z)=null) or right(z)=null)) 2) then y<-z 3) else y<- Successor(z) 4) if (left(y) NULL) 5) then x<- left(y) 6) else x<- right (y) 7) if (x NULL) 8) then parent(x)<- parent(y) 9) if (parent(y)=null) 10) then Head <- x 11) else if y= left(parent(y)) 12) then left (parent(y)) <- x 13) else right (parent(y)) <- x 14) if (y z) 15) then key(z) <- key(y) 16) return y שאלה: הצע דרך סימטרית למחיקת איבר, בדומה לפונקציה שתוארה לעיל, כל שבה האיבר המחליף את z הינו מתת העץ השמאלי. פתרון: ניתן להחליף את הצמת באיבר הקודם לו, בצורה סימטרית לחלוטין.

5 עצים אדומים שחורים : הפעולות שראינו במהלך התרגול רצות בזמן ריצה של O(h) כאשר שהעץ יהיה מאוזן יותר כך ייטב וזמן הריצה יהיה מהיר יותר. אם העץ הבינארי היה מלא אזי O(lg(n)). h = hהינו גובה העץ, כמובן שככל בעץ אדום שחור, נוסיף עוד פרמטר לצומת (צבע אדום/שחור) מה שמגדיל את הצומת בעוד ביט אחד. הוספה זו (פעולות המשתמשות בתא זה) מאזנות את העץ. באופן המבטיח כי לא יהיה מסלול מהשורש לעלה שאורכו יהיה כפול ממסלול אחר מהשורש לעלה אחר. הערה: בעבודה עם עצים אדומים שחורים נתייחס לעלים כאל המצביעים ל NULL (בניגוד לעצים רגילים בהם עלה הוגדר כצמת בעל שני בנים ( NULL תכונות עץ אדום-שחור: א) כל צמת הוא אדום או שחור. ב) כל בן של עלה הוא שחור ) NULL הוא שחור) ג) אם צמת הוא אדום אז שני בניו שחורים. ד) כל המסלולים מצמת לעלים שהינם צאצאיו מכיל אותו מספר של צאצאים שחורים. דוגמא: קבע את צבעי הצמתים כך שיהוו עץ בינארי אדום-שחור. שאלה : האם ישנה צביעה נוספת כך שתהיה עדיין תקנית? פתרון: ינתן בכיתה.

6 דוגמא: קבע את צבעי הצמתים כך שיהוו עץ בינארי אדום-שחור. פתרון : לא קיימת צביעה כך שהעץ יהיה אדום שחור. במסלול השמאלי ישנם רק שני צמתים, נניח כי הם שחורים,כעת במסלול הימני דרוש שיהיה רק שני צמתים שחורים וזה לא יתכן כי אז מתוך ארבעה צמתים רק אחד שחור, ואז ישנם שני צמתים אדומים רצופים בוודאות, ובעץ אדום-שחור אסור שיהיו שני צמתים רצופים אדומים (תכונה ג) שאלה : הוכח כי בעץ אדום-שחור המסלול הפשוט הארוך ביותר הינו כפול מאורך המסלול הפשוט הקצר ביותר לכל היותר. פתרון: נניח כי ישנם שני מסלולים G1 ו G2 כמות הצמתים השחורים זהה בשניהם, כמו כן במסלול הארוך (G2) יש לכל היותר כמות זהה של איברים אדומים (זהה לכמות האיברים השחורים), וזאת מכיוון שאחרי כל צמת אדום חייב להגיע צמת שחור (במסלול), ולכן כמות הצמתים ב G2 היא לכל היותר פי שנים מכמות הצמתים ב. G1 רוטציות: כאשר מבצעים פעולות המשנות את העץ ) הכנסה או מחיקה), תכונות העץ האדום-שחור עלולות להיות מופרות. בכדי לשמור על תכונות אלו נבצע שינוי בצביעה ובמבנה באמצעות רוטציות.

7 Left_Rotate(Head,x) 1) y<- right(x) 2) right(x)<- left(y) 3) if (left(y) NULL) 4) then parent(left(y))<- x 5) parent(y)<- parent(x) 6) if (parent(x) = NULL) 7) then Head<- y 8) else if x= left(parent(x)) 9) then left (parent(x)) <- y 10) else right (parent(x)) <- y 11) left(y) <- x 12) parent(x) <- y ולאחר מכן רוטציה ימנית ל : 11 פונקצית רוטציה ימנית: דוגמא בצע רוטציה שמאלית ל, 4 שאלה : הראה כי ניתן להגיע לכל סידור של עץ בינארי ע"י רוטציות ימניות ושמאליות. פתרון: יובא בכיתה. שאלה :האם רוטציה ימנית או שמאלית משנה את תוצאות סריקה תוכית, סריקה תחילית וסירקה סופית? פתרון: יובא בכיתה.

עץ תורשה מוגדר כך:שורש או שורש ושני בנים שכל אחד מהם עץ תורשה,כך שערך השורש גדול או שווה לסכום הנכדים(נכד-הוא רק בן של בן) נתון העץ הבא:

שאלה 1 עץ תורשה מוגדר כך:שורש או שורש ושני בנים שכל אחד מהם עץ תורשה,כך שערך השורש גדול או שווה לסכום הנכדים(נכד-הוא רק בן של בן) נתון העץ הבא: 99 80 50 15 40 34 30 22 10 13 20 13 9 8 א. ב. ג. האם העץ